Question

lim(x趋近于0+)ln(1+x)乘以ln(1+e^(1/x))，答案=1，求完整的步骤，谢谢了

Answer 1

lim(x->0+)ln(1+x)ln(1+e^(1/x))
=lim(x->0+){[ln(1+x)]/x}[xln(1+e^(1/x))]
而lim(x->0+)[ln(1+x)]/x=1
∴原式=lim(x->0+)xln(1+e^(1/x))
令y=1/x，则x->0+时等价于y->+∞
∴原式=lim(y->+∞)[ln(1+e^y)]/y
=lim(y->+∞)e^y/(1+e^y) [洛比达法则]
=lim(y->+∞)1/(1/e^y+1)
=1

追问

洛必达法则哪一步，分母怎么会是e^y?怎么变来的？
上一步不是lim（x趋近于正无穷）[ln(1+e^y)]/y,然后洛必达法则，怎么下一步就是lim（y趋近于正无穷）e^y/（1+e^y）?
极限学得太糟糕了，求帮助，谢谢了

追答

洛比达法则： 分子分母都是无穷大时 可以上下分别求导
对分母ln(1+e^y) 求导得e^y/(1+e^y)
对分子y 求导得 1
∴比值变为e^y/(1+e^y)