Question

已知a，b，c是△ABC的三条边长，且a²+b²+c²=ab+bc+ca。若△ABC的面积为25倍根号3cm².

求这个三角形的边长。（前面已证是等边三角形），答案及过程。谢谢

Answer 1

因a2+b2+c2=ab+bc+ca,
2(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ca)
a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ab
当a=b时,a2+b2=2ab,同理,易得,a=b=c
则△abc为等边三角形

则S△abc=1/2absinC==1/2a2sin60°=25根号3, a=10

Answer 2

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2=0(方程两边乘2，移项)
(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0三项同大于等于0，且和为0所以每项均为0，即a=b,a=c,b=c，所以为等边三角形

设等边三角形变长为 a
那么高就为 h=（根号3）*a/2
所以三角形面积 S=ah/2=（根号3）*a*a/4=25*(根号3)
解除方程得 a=10cm

Answer 3

作高，设边长为2x,则高为根号3倍x,(30度所对直角边为斜边的一半，根据勾股求得高为根号3倍x),利用三角形面积公式底x高除2,可求x=5,则边长为10