Question

高等数学，这一题为什么说显然z+1的积分＝0？

Answer 1

二重积分的几何意义是计算以曲面z=f（x,y）（定义在区域D上）为顶，以其D为底的曲顶柱体的体积，，这里的z并不是关于x,y的函数

追问

不是被平面x+z=2截取吗

追答

不好意思，，上次看错题了。

这是第二型曲面积分，画图可以看出该曲面被y=0截成了对称的两部分，取曲面外侧，可以看出积分沿一部分的上侧进行，沿另一部分的下侧进行。

追问

那应该怎么理解？

追答

把第二型曲面积分转化成二重积分来计算（定理，我不会输，你可以搜一下。）然后再把得到的二重积分转化到极坐标系上计算

Answer 2

其中z+1右边的dxdy表示∑上一个平行于XOY的有向小面块的面积，但是这个∑是垂直于XOY的圆柱面的一部分，所以不存在平行于XOY的部分，即dxdy恒为0，故（z+1）dxdy==0
所以显然相应积分为0

Answer 3

将截出的曲面投到xoy面上是一个圆，而非一个圆面，其面积为0。对x.y微分，z+1当常数看，故结果显然为0

Answer 4

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