Question

求解第一题选项～谢谢

Answer 1

解：画出草图易知，公共部分为一个以坐标原点为中心，由四条椭圆弧为边的近似曲边正方形。其面积可按在第一象限的部分的4倍求取。根据对称性，可按在第一象限的曲边三角形的面积的8倍求取。
联立两个椭圆方程，易解得两个椭圆在第一象限的交点坐标为(√3/2,√3/2)。下面用极坐标计算此曲边三角形的面积较为便捷。
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入椭圆方程x²+y²/3=1，化简得
ρ²=3/(3cos²θ+sin²θ)
则所求图形面积为
S=8*∫(0,π/4)1/2* ρ²sin(dθ) （sin(dθ) ~dθ）
=12∫(0,π/4)1/(3cos²θ+sin²θ)dθ （分子分母都除以cos²θ）
=12∫(0,π/4)sec²θ/(3+tan²θ)dθ
=12∫(0,π/4)dtanθ/(3+tan²θ) 令u=tanθ
=12∫(0,1)du/(3+u²)
=12*1/√3*arctan(u/√3)|(0,1)
=12/√3*π/6
=2√3π/3
答案有问题。会方法即可。

Answer 2

1. 积分我基本都忘了，提个思路，这两个椭圆一定在第一象限有交点，设为（a,b），带入计算得到（√3/2,√3/2），确定一定由y=x将其分成8部分，只需要在第一象限内相交部分曲线面积积分即可。

Answer 3