Question

1!*1+2!*2+3!*3+...+n!*n化简

Answer 1

求1^2+2^2+3^2+...+n^2的值
　　　　方法一：利用立方差公式
　　　　n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n

　　　　2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
　　　　3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
　　　　4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
　　　　......
　　　　n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

　　　　各等式全相加
　　　　n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

　　　　n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

　　　　n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

　　　　n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

　　　　3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1)

　　　　1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
追问
你好像看错了，
是1!*1+2!*2+3!*3+...+n!*n
不是1^2+2^2+3^2+...+n^2
回答
兄弟问一下，这是不是你自己编的。。。。。

追问
数学中！叫做阶乘，
即1*2*3*...*n缩写为n!
求1!*1+2!*2+3!*3+...+n!*n的化简过程

Answer 2

2^n-1+2^n-2+....+2^3+2^2+2+1
=1+2+2^2+2^3+……+2^n-1
=(2+2+2^2+2^3+……+2^n-1)-1
=(2^2+2^2+2^3+……+2^n-1)-1
=(2^3+2^3+……+2^n-1)-1
=……
=(2^n-1+2^n-1)-1
=(2^n)-1

Answer 3

求1^2+2^2+3^2+...+n^2的值
　　　　方法一：利用立方差公式
　　　　n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n

　　　　2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
　　　　3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
　　　　4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
　　　　......
　　　　n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

　　　　各等式全相加
　　　　n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

　　　　n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

　　　　n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

　　　　n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

　　　　3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1)

　　　　1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

追问

你好像看错了，
是1!*1+2!*2+3!*3+...+n!*n
不是1^2+2^2+3^2+...+n^2

追答

兄弟问一下，这是不是你自己编的。。。。。

追问

数学中！叫做阶乘，
即1*2*3*...*n缩写为n!
求1!*1+2!*2+3!*3+...+n!*n的化简过程