Question

计算曲线积分∫L(e∧xsiny－2y)dx＋(e∧xcosy－2)dy,其中L为上半圆周(x－a²

计算曲线积分∫L(e∧xsiny－2y)dx＋(e∧xcosy－2)dy,其中L为上半圆周(x－a²)＋y²＝a²,y≥0.沿逆时针方向。

Answer 1

解：连接上半圆周(x-a)²+y²=a²(y≥0)的直径L1：y=0，0≤x≤2a。
于是，根据格林定理得
∫<L>(e^xsiny-2y)dx+(e^xcosy-2)dy+∫<L1>(e^xsiny-2y)dx+(e^xcosy-2)dy=2∫∫<S>dxdy
(S表示L+L1所围成的区域)
∵∫<L1>(e^xsiny-2y)dx+(e^xcosy-2)dy=0
∫∫<S>dxdy=πa²/2
∴∫<L>(e^xsiny-2y)dx+(e^xcosy-2)dy+0=2(πa²/2)
故∫<L>(e^xsiny-2y)dx+(e^xcosy-2)dy=πa²。