Question

若正数a,b满足a+2b=3,且使不等式（1/2a）+（1/b）-m>0恒成立,则实数m的取值范围是_____.

Answer 1

不等式（1/2a）+（1/b）-m>0恒成立
即m<1/(2a)+1/b恒成立
需m小于1/(2a）+1/b的最小值
∵正数a,b满足a+2b=3
∴a/3+2b/3=1
∴1/(2a)+1/b
=[1/(2a)+1/b]*(a/3+2b/3)
=1/6+2/3+a/(3b)+2b/(6a)
∵a/(3b)+2b/(6a)≥2√[a/(3b)*2b/(6a)]=2/3
当且仅当a/(3b)=b/(3a)即a=b=1时取等号
∴1/6+2/3+a/(3b)+2b/(6a)≥3/2
即a/3+1/b的最小值为3/2

∴m<3/2

Answer 2

a=(3-b)*1/2,（1/2a）+（1/b）-m=1/(3-b)+1/b-m=3/[b*(3-b)]-m>0,解得m<3/[b*(3-b)]