Question

高中数学不等式的问题 高手进

有这样的一类题目 我就说一个吧
不等式 2x-1/x+3＞1的解集 为______
或者是别样子的 我发现了一个规律 :只要是分式不等式 就可要 化成整式不等式 问题就解决了 具体如下
先把1放到左边 即最后为 x-4/x+3＞0 变成 （x-4）（x+3）＞0 问题就解决了 但是 为什么 x-4/x+3＞0 变成 （x-4）（x+3）＞0 ？？？？？　　为什么一定变成整式呢？　　并且　与正确答案相符？　为什么　？　　

Answer 1

其实就是一种习惯而已，我在解的时候就根本没化成过整式来解的习惯。
而且加上等号后，变成整式不注意把分母不等于0都忘了，反而出现不应该出的错误。
答案一样是肯定的：两数相乘为正，在解不等式时等价于两个式子同号；
两式相除为正，在解不等式时也等价于两个式子同号。
所以它们是等价的，当然解集相同了。

追问

那你 解的话要解两个方程组？ 还是怎么解

追答

教你个绝招：“直线穿根法”：
第一步，把分子分母中的多项式按同一字母降幂排列，并使首项系数为正；
第二步，令分子=0，分母=0，解出所有的x的值；
第三步，把解出的x的值从左到右按从小到大顺序排在一根线上，从右上开始穿根，
大于就取上方对应的范围，小于就取正方对应的范围。

追问

他的有使用条件吧

追答

当然有，比如右边为零，比如第一步，都算是条件，举个例子让你体会一下 ：

Answer 2

因为如果是分式的话，解方程就必须去分母，但是因为是不等式，去分母时要考虑正负。为了避免这个问题可以同时乘以分母的平方。因为分母不为零，所以平方一定大于零

Answer 3

太详细的不清楚 不过老师教了一种“数轴穿根法” 例：a-3/a+7<0 用步骤 移向-通分-因式分解（每个因式自变量前面必须为正）然后解方程a-3=0 和a+7=0，最后在数轴上把这两个数表示出来，从右上方开始往下连，遇到数字就转弯，然后如果是正的就去上面，反之取下。这个方程的解就是a<-7或a>3.

Answer 4

可以假如A/B>0，那么相当于A>0，B>0或A<0，B<0才能使这个式子成立，即AB同号，
但是AB>0的情况与之一样，没有任何改变，但是从分式变成整式是方便我们对不等式的解读。

追问

A>0，B>0或A0 ？

追答

不是说A>0，B>0或A0，而是AB>0和A/B>0的结果是一样的，都是A>0，B>0或A=0和AB>=0的结果又不一样了，分式的分母有限制。

Answer 5

两数相除大于0 就是说同正或同负，那么就表示两数相乘也为正。同时避免了失根的情况。

追问

怎么就避免了失根的情况 ？

追答

如果以除法的方式两边直接乘以分母，那么需要考虑分母的正负问题，有时候会少考虑分母为负的情况，则会导致答案缺失一部分。
而且在写详细步骤时还得写清楚分母不为零，在最后的答案（集合）中注意将分母为零的情况摘除