Question

设函数f(x)=ax²+bx+c,且f(1)=-a/2

3a>2c>2b求证1.a>0且-3<b/a<-4/3 2.函数f(x)在区间（0,2）内至少有一个零点。又没有自己写的答案，复制粘贴的那个答案看不懂

Answer 1

f(x)=ax²+bx+c
(1)
f(1)=a+b+c=-a/2
<=>3a+2b+2c=0.
∵3a＞2c＞2b
∴a＞0，b＜0.
由3a+2b+2c=0，得c=-（3a+2b）/2.
由3a＞2c＞2b得3a＞-3a-2b＞2b，即6a＞-2b，-3a＞4b。
整理得-3＜b/a＜-4/3.
综上，命题得证。

(2)
∵-3＜b/a＜-4/3
∴2/3＜-b/2a＜3/2，a＞0.
∴f（x）min在区间（2/3,3/2）里。
又∵f（1）=-a/2＜0
∴f（x）min≤-a/2＜0.
要使f(x)在(0,2)内至少有一个零点
只需f(0)f(-b/2a)＜0或f(2)f(-b/2a)＜0.
只需f(0)＞0或f（2）＞0.
只需c＞0或4a+2b+c＞0.
又3a+2b+2c=0，得2b=-（3a+2c）。
从而f（2）=a-c.，f（0）=c。
当0＜a≤c＜3a/2时，f（0）＞0，f（2）＜0，则f（x）在（0,2）上有一个零点。
当0＜c＜a时，f（0）＞0，f（2）＞0，则f（x）在（0,2）上有两个零点。
当c≤0时，f（0）≤0，f（2）＞0，则f（x）在（0,2）上有一个零点。
综上，命题得证。
- -这是我自己写的呀！
如果不懂的话，请追问并指出哪不懂，我可以帮你继续解答。

追问

为啥（1）∴a＞0，b＜0.

追答

∵3a+2b+2c=0，又3a＞2c＞2b。
∴必须有a＞0，b＜0.
如果a≤0，那么0≥3a＞2c＞2b，则3a+2b+2c＜0矛盾。
如果b≥0，那么3a＞2c＞2b≥0，则3a+2b+2c＞0矛盾。

追问

第（2）∵-3＜b/a＜-4/3
∴2/3＜-b/2a＜3/2，a＞0.
∴f（x）min在区间（2/3,3/2）里。
又∵f（1）=-a/2＜0
∴f（x）min≤-a/2＜0.为啥要这样做，看不懂

追答

这是个二次函数，其开口向上，要保证其有根，则必须保证其最小值小于等于0.

追问

最后那个分情况讨论是怎么分的

追答

由c的范围及f（2）=a-c，f（0）=c分的。

c的范围由3a＞2c＞2b知c＜2/3a.
根据c的范围可得相应的区间f（2）、f（0）＜0或＞0.