Question

一道初三数学题，在线等

已知a,b,c分别是三角形的三边长，且关于x的方程（x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0有两个相等实数根，试判断△ABC的形状。

Answer 1

答：
方程(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0
即是：3x^2-(a+b+b+c+c+a)x+ab+bc+ac=0
方程有两个相等的实数根：
判别式=4(a+b+c)^2-4*3(ab+bc+ac)=0
所以：
(a+b+c)^2=3(ab+bc+ac)
a^2+b^+c^2+2ab+2ac+2bc=3(ab+bc+ac)
a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0 两边同乘以2得：
a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2=0
所以：
(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0
所以：a-b=a-c=b-c=0
所以：a=b=c
所以：三角形ABC是等边三角形

Answer 2

（x-a）（x-b）+(x-b)(x-c)+（x-c）（x-a）=0

3x² -2（a+b+c）x+ab+bc+ac=0

有两个相同的实数根 那么判别式

4（a+b+c）²-12（ab+bc+ac）=0

（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²=0

所以a=b=c

为等边三角形

Answer 3

化简，3x²-2（a+b+c）+（ab+bc+ca）=0
则x={2（a+b+c）土【根号下4（a+b+c）²-12（ab+bc+ca）】}/6
如果有两个根，则4（a+b+c）²-12（ab+bc+ca）≥0，即（a+b+c）²-3（ab+bc+ca）≥0，化简得a²+b²+c²-ab-bc-ca=（a-b）²/2 +（c-b）²/2（a-c）²/2≥0，所以只能a=b=c，等边三角形