Question

数学题求值域 图如下

Answer 1

y=sinx/(2-cosx)
y(2-cosx)=sinx
sinx+ycosx=2y
由于 sinx+ycosx 最大值为 √(1+y^2) ，
所以 |2y|<=√(1+y^2) ，
解得 -√3/3<=y<=√3/3 ，即函数值域为 [ -√3/3，√3/3 ] 。

追问

sinx+ycosx 最大值为 √(1+y^2) ？？ 为什么，可以详细点吗？
所以 |2y|<=√(1+y^2) ，
解得 -√3/3<=y<=√3/3 解得 -√3/3<=y<=√3/3 这能详细点吗？
谢谢！！

追答

因为 asinx+bcosx=√(a^2+b^2)*[sinx*a/√(a^2+b^2)+cosx*b/√(a^2+b^2)] （提出 √(a^2+b^2) ）
=√(a^2+b^2)*(sinxcosθ+cosxsinθ)（令 cosθ=a/√(a^2+b^2)，sinθ=b/√(a^2+b^2)）
=√(a^2+b^2)*sin(x+θ) ，
所以 asinx+bcosx 最大值为 √(a^2+b^2) 。这是一个重要结论，许多问题中有重要应用。上面的等式也可以作为一个公式。

|2y|<=√(1+y^2) 两边平方得 4y^2<=1+y^2 ，
因此 3y^2<=1 ，y^2<=1/3 ，
开方得 -√3/3<=y<=√3/3 。

Answer 2

2y-ycosx=sinx
ycosx+sinx=2y
√（ y^2+1)cos(x-a)=2y
cos(x-a)=2y/√（ y^2+1)
因为/cos(x-a)/≤1
所以/2y/√（ y^2+1)/≤1
4y^2≤y^2+1
y^2≤1/3
值域为[-√3/3,√3/3]

Answer 3

y=sinx/(2-cosx)
(2-cosx)y=sinx
2y-ycosx=sinx
2y=sinx+ycosx
2y=√(y^2+1)sin(x+ψ)
sin(x+ψ)=2y/√(y^2+1)∈[-1,1]
-1≤2y/√(y^2+1)≤1
4y^2/(y^2+1)≤1
4y^2≤y^2+1
-√3/3≤y≤√3/3