已知通解，求微分方程，高等数学
特征根是 ±2i， 可设特解 y = (ax+b)cosx + (cx+d)sinx
则 y' = acosx+csinx -(ax+b)sinx + (cx+d)cosx
= (cx+a+d)cosx - (ax+b-c)sinx
y'' = ccosx-asinx - (cx+a+d)sinx - (ax+b-c)cosx
= -(ax+b-2c)cosx - (cx+2a+d)sinx
代入方程得 [(4ax+4b) - (ax+b-2c)]cosx +
[(4cx+4d) - (cx+2a+d)]sinx = xcosx
3a = 1, 3b+2c =0, 3c = 0, 3d-2a = 0
得 a = 1/3， c = 0， b = 0， d = 2/9
特解 y = (1/3)xcosx + (2/9)sinx
微分方程的通解是 y = C1cos2x + C2sin2x + (1/3)xcosx + (2/9)sinx
微分方程
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。
物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。
不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。
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