复变函数论的发展
一些实际问题也推动着复变函数理论的产生与发展。早在1752年J.le R.达朗贝尔关于流体阻力的研究中，便考虑在什么条件下当平面上的点(x，y)趋于一点时复值函数u(x，y)+iv(x，y)存在导数。这里要求导数与(x，y)所沿的路径无关。这个问题的答案是：若 ?(z)=u+iv在域D内定义，且u，v作为x，y的函数在D内可微，则?(z)可导的充要条件为：式(1)
。
这个条件称为柯西-黎曼方程。在域D内可导的函数称为解析函数或全纯函数。由条件(1)易知，若u，v存在连续的二阶偏导数，则u，v应满足拉普拉斯方程。由(1)联系着的两个调和函数称为共轭调和函数。
19世纪前半叶，柯西为复变函数理论的建立奠定了基础。他定义了复变函数的积分，并证明了下述柯西积分定理：若?(z)在区域D内解析，C为可求长的简单闭曲线，且C及其内部均含于D内，则有式(2)
。 从几何观点看，定义在域D内的一个解析函数w=?(z)，把D映为w平面上的一个区域。这样的映射具有保持角度的性质，所以称为保角映射，又称共形映射。19世纪中叶，黎曼对此作了很多研究。他首先提出了如下的原理（狄利克雷原理）：在简单闭曲线C上给了一个连续函数φ，则必存在于C内调和且连续到C上的函数u，u在C上的值与φ相同。在此基础上，黎曼得出共形映射的基本定理：若单连通域D的边界多于一点，z0为D内一点且θ0为一实数，则存在惟一的单叶解析函数w=?(z)将D映为w 平面上的单位圆│w│<1，且满足
?(z0)=0， ?′(z0)>0。
这个定理称为黎曼映射定理，它是复变函数几何理论的基础。根据这个定理，对于单连通区域内的解析函数常常可以化到单位圆内去研究。后来C·卡拉西奥多里进一步指出，在黎曼映射定理中，若域D的边界为一简单闭曲线C，则C上的点与圆周│w│=1上的点也一一对应。 如前所述，解析函数在每点邻域内可以展为幂级数，所以幂级数是研究解析函数的有力工具。这也是K.外尔斯特拉斯从事研究的出发点。若幂级数 式 (3)
的收敛半径R为有穷正数，则?(z)在Γ:│z│<R内解析而在圆周│z│=R上?(z)至少有一个奇点z0，即不存在以z0为心的圆у和在у内解析的函数g(z)，使在Γ与у的交内有g(z)=?(z)。 当│z│=R上所有的点都是?(z)的奇点时，?(z)就不能从Γ内解析开拓出去，这时|z|=R称为?(z)的自然边界。关于收敛圆周上的奇点及自然边界的研究，J.（-S.）阿达马、S.曼德尔勃罗伊及G.波伊亚等人均有很好的工作。 若│z│=R上的点z0不是?(z)的奇点，则?(z)可以经过z0利用幂级数开拓到│z│=R 以外的部分。从幂级数(2)出发，向各个方向尽量进行解析开拓，所得的全体幂级数构成一个集合。这个集合定义了一个完全解析函数。关于完全解析函数，（J.-）H·庞加莱和V·沃尔泰拉等人有重要工作。
完全解析函数可以是单值的或多值的。对于多值函数，自变量z绕某些点一圈后函数从一个值变为另一个值，这些点称为分支点。黎曼曲面是表示多值函数的具体的几何方法，它是由一些互相适当连接的重叠的平面构成的。一个多值函数在其黎曼曲面上即成为单值的。黎曼曲面的重要例子是代数函数，即由代数方程P(z，w)=0确定的函数。这种函数的黎曼曲面恒可连续变形到球面或带有若干个环柄的球面。环柄的个数称为黎曼曲面的亏格，它决定了该曲面的很多重要性质。 在复变函数的应用上，共形映射具有重要的地位。H.E.茹科夫斯基通过共形映射研究绕机翼的流动便是著名的例子。实际应用中，常常要借助近似方法具体地构造出映射函数。这方面有不少研究工作。当然，有时并不需要知道具体的映射函数，只是应用其几何性质。这就推动了复变函数几何理论的发展。
单叶函数的研究是复变函数几何理论的一个重要组成部分，特别是1916年L.比伯巴赫提出的单位圆内形如式(4)的单叶解析函数应有 |αn|≤n的猜测引起了许多学者的注意。近70年来，围绕着比伯巴赫猜想曾有不少研究工作，但是直到1984年，布朗基才完全证实了这个猜想。证明中主要应用了莱伯德－米林的工作，C.勒夫纳的参数表示法以及关于雅可比多项式的结果。
柯西－黎曼方程表明了解析函数与椭圆型偏微分方程组之间的联系，20世纪50年代以来L.伯斯，И.Η.韦夸等考虑较为一般的椭圆型偏微分方程组，并引入广义解析函数的概念。解析函数决定的映射为共形映射，它把无穷小圆映为无穷小圆；而广义解析函数则决定了拟共形映射，它把无穷小圆映为无穷小椭圆。L.V.阿尔福斯，М.Α.拉夫连季耶夫为拟共形映射的理论奠定了基础。 解析函数虽然在区域内部有很好的性质，但是当自变量z趋向于边界时，函数的变化情况常常十分复杂。关于这方面的研究就形成了一个专门的领域，称为解析函数边界性质。经典的结果有法图定理，Η.Η.卢津和И.И.普里瓦洛夫在这方面也有系统的研究。出现了聚集合的概念，进一步将研究引向深入。
