Question

已知,矩形ABCD中,AC的垂直平分线EF分别交AD,BC于点E,F,垂足为O.

（1)如图1，连接AF、CE。求证：四边形AFCE为菱形。
（2）若AB=4cm，∠ACB=30°，垂直于BC的直线l从线段CD所在的位置出发，沿直线AD的方向向左以每秒1cm的速度匀速运动（直线l到达A点时停止运动），运动过程中，直线l交折痕AEC于点M，交折线AFC于点N：设运动时间为T秒，△CMN的面积为y平方厘米，求y与t的关系式。

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，FE⊥AC，
在△AOE和△COF中

∠EAO＝∠FCO    

AO＝CO    

∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF，
∴EO=FO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；

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Answer 2

(1) ∵△COF≌△AOE （∠EAC=∠FAC EF⊥AC AO=CO)
∴ AE=CF
∵ 矩形ABCD ∴ AD=BC AB=CD ∠B=∠D=90°
∴ BF=DE ∴ △ABF≌△CDE ∴ AE=CF ∴四边形AFCE为平行四边形
∵EF为AC中垂线 ∴ AE=CE ∴四边形AFCE为菱形

(2) t≤4√3/3时 直线l分别与线段CE、CF相交
∵ 四边形AFCE为菱形 ∠ACB=30° ∴ ∠FCE=60°
∵直线l⊥BC ∴ MN=√3 t ∴y=√3/2 t²

4√3/3≤t≤8√3/3时 直线l分别与线段AE、CF相交 此时线段MN长度不变
∵Rt△CMN ∴y=2t

8√3/3≤t≤4√3时 直线l分别与线段AE、AF相交
∵ Rt△AMN ∠EAF=60°（菱形对角相等） ∴MN=4√3-t
∴y=1/2t(4√3-t)