Question

定积分的原始概念中,设它在区间[o,1]中插入n-1个分点,那下面那个式子是什么意思呀？为什么每个分点要除n

Answer 1

1、不是每个分点除以n，而是整个区间的长度 1 除以n；
2、除以 n 后，就是插入了 n - 1 个点，连首尾，一共 n + 1 个点；
3、1/n 也就成为每个窄窄的矩形的底宽；
4、第 i 个矩形的左边底角坐标是 (i - 1)/n，右边底角坐标是 i/n；
5、我们可以用 [(i - 1)/n]² 作为矩形的高，也可以用 (i/n)² 作为矩形的高，
也可以用它们的平均高度作为矩形的高；
6、小矩形的面积是 高乘以(1/n)；
7、然后求和取极限，在取了极限后，无论三个高中，用哪一个，得到的结果是一样的；
8、把这些过程简化，就是将lim，∑ 和起来，用了一个积分符号 ∫ 概括。
这就是积分的思想方法。

追问

那1,2…i,n-1…n,它是分点的的意思吗？那它为什表示成i/n的形式,比如说在第三个分点表示成3/n,这让我感觉到这表示的不是把1分成n个点后的第三个点,而是让我想到它是在第三个点再除以n,请我这样理哪里错了？

追答

0、1、2、3、、、、、i、、、、(n-1)、n，是 n+1 个点，
这些点将长度1分成了n段，每段的长度是1/n；
每两个相邻的点的距离是1/n，第 i 段是从第 (i-1)/n 点的位置到第 i/n 点的位置之间的距离。
你举的3/n是第四个点的位置，而不是将第四个点分成 n 份；
表面上看来，确实如你所说，好像是将点除以n，因为总长度是1，每个小段的长度是1/n，
3/n = 3 * (1/n)，就是第三个小段的末点的位置，4/n = 4*(1/n) 就是第4个小段末点的位置。