Question

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

解答下列问题： （1）如果AB=AC，∠BAC=90º． ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ▲ ，数量关系为 ▲ ． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动． 试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）

Answer 1

解：（1）①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立

由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度

∵∠BAC=90°，

∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD

∠ACF=∠ABD

∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．

（2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图）

理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG

可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45°

∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，

即CF⊥BD．

及时采纳

追问

(2)没看懂

追答

（2）问 只需要对照图1看，△ABC满足一个什么条件，即当∠BCA=45°时，CF⊥BD。如图1。
此处省略了证明GDA CFA全等，自己也能证明的。

Answer 2

<p>解：（1）①垂直；相等；</p><p>②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．</p><p>由正方形ADEF得，AD=AF，∠DAF=90°，</p><p>∵∠BAC=90°，</p><p>∴∠DAF=∠BAC， </p><p>∴∠DAB=∠FAC，</p><p>又AB=AC，</p><p>∴△DAB≌△FAC，</p><p>∴CF=BD，∠ACF=∠ABD，</p><p>∵∠BAC=90°， AB=AC，</p><p>∴∠ABC=45°，</p><p>∴∠ACF=45°，</p><p>∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90°，即 CF⊥BD。</p><p><br /></p><p>（2）画图正确，</p><p>当∠BCA=45o时，CF⊥BD（如图丁），</p><p>理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG，</p><p>可证：△GAD≌△CAF，</p><p>∴∠ACF=∠AGD=45o ，∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o，</p><p>即CF⊥BD。</p><p>3）当具备∠BCA=45o时，<br />过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）<br />∵DE与CF交于点P时，∴此时点D位于线段CQ上，<br />∵∠BCA=45o，可求出AQ=CQ=4，<br />设CD=x，<br />∴DQ=4-x，<br />容易说明△AQD∽△DCP，</p><p>∴<img src="14006687440" /></p><p>∴<img src="14006697363" /></p><p>∴<img src="14006696323" /></p><p>∵0＜x≤3，<br />∴当x=2时，CP有最大值1。</p>