Question

高中解析几何习题，第7题结论是-5，第8题结论是2+根号5，想知道具体解题方法

Answer 1

正在做啊

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好的，谢谢

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因为向量PA+PB=2PO,MA+MB=2MO,故有PO=入MO.即有O,P,M三点一线.

设OP方程是y=kx
与双曲线方程x^2/a^2-y^2/b^2=1联立解得P坐标是(x1,y1),x1^2=a^2*b^2/(b^2-a^2*k^2)
那么有k1+k2=(y1-0)/(x1+a)+y1/(x1-a)=y1[2x1/(x1^2-a^2)]=5
2kx1^2/(x1^2-a^2)=5
k=2b^2/5a^2
与椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1联立解得M坐标是(x2,y2),x2^2=a^2*b^2/(b^2+a^2*k^2)
那么有k3+k4=y2/(x2-a)+y2/(x2+a)=2x2y2/(x2^2-a^2)=2kx2^2/(x2^2-a^2)=2b^2/(-a^2k)=-5

过定点(1,2),即有1/a^2+4/b^2=1
中心到准线的距离d=a^2/c
∵C:x^2/a^2+y^2/b^2=1恒过定点(1,2),
∴ 1/a^2+4/b^2=1
若a>b>0, 4/b^2=(a^2-1)/a^2
b^2=4a^2/(a^2-1)
中心到准线的距离d= a^2/c
d^2=a^4/c^2=a^4/(a^2-b^2)=a^4/[a^2-4a^2/(a^2-1)]
=a^2(a^2-1)/(a^2-5)=[(a^2-5)^2+9(a^2-5)+20]/(a^2-5)
=(a^2-5)+20/(a^2-5)+9≥4√5+9=(2+√5)^2
当(a^2-5)^2=20,即a^2=5+2√5时，取等号
所以，dmin=2+√5

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我看看啊，谢谢