Question

已知数列{an}中a1=1,an=2an-1+1(n∈N*，n≥2)该数列的前n项和Sn=

求Sn 求详细解答

Answer 1

解由an=2an-1+1
得an+1=2an-1+1+1
即an+1=2an-1+2
即（an+1）=2（an-1+1）
令bn=an+1，则b（n-1）=an-1+1，b1=a1+1=2
即bn=2b（n-1）
即｛bn｝是等比数列，首项为2，公比为2
即bn=2^n
即an +1=2^n
即an=2^n -1

Answer 2

∵an=2a(n-1)+1
∴an+1=2a(n-1)+2
∴an+1=2[a(n-1)+1]
∴﹛an+1﹜是等比数列
∴an+1=(a1+1)×2^(n-1)=2^n
∴an=2^n-1
∴Sn=2×(1-2^n)/(1-2)-n
=2^(n+1)-2-n

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