设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1≠0,2an-a1=S1•Sn,n∈N*
设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1≠0,2an-a1=S1•Sn,n∈N*(Ⅰ)求a1,a2,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{nan}的前n项...
设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1≠0,2an-a1=S1•Sn,n∈N*
(Ⅰ)求a1,a2,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和. 展开
(Ⅰ)求a1,a2,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和. 展开
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解:(Ⅰ)令n=1,得2a1-a1=a1^2,即a1=a1^2,
∵a1≠0,∴a1=1,
令n=2,得2a2-1=1+a2,解得a2=2,
当n≥2时,由2an-1=Sn得,2an-1-1=Sn-1,
两式相减得2an-2an-1=an,即an=2an-1,
∴数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,
∴an=2n-1,即数列{an}的通项公式an=2n-1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,nan=n•2n-1,设数列{nan}的前n项和为Tn,
则Tn=1+2×2+3×2^2+…+n×2n-1,①
2Tn=1×2+2×2^2+3×2^3+…+n×2^n,②
①-②得,-Tn=1+2+2^2+…+2^n-1-n•2^n
=2n-1-n•2^n,
∴Tn=1+(n-1)2^n.
∵a1≠0,∴a1=1,
令n=2,得2a2-1=1+a2,解得a2=2,
当n≥2时,由2an-1=Sn得,2an-1-1=Sn-1,
两式相减得2an-2an-1=an,即an=2an-1,
∴数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,
∴an=2n-1,即数列{an}的通项公式an=2n-1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,nan=n•2n-1,设数列{nan}的前n项和为Tn,
则Tn=1+2×2+3×2^2+…+n×2n-1,①
2Tn=1×2+2×2^2+3×2^3+…+n×2^n,②
①-②得,-Tn=1+2+2^2+…+2^n-1-n•2^n
=2n-1-n•2^n,
∴Tn=1+(n-1)2^n.
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