Question

设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an-a1=S1•Sn，n∈N*

设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an-a1=S1•Sn，n∈N*
（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和．

Answer 1

解：（Ⅰ）令n=1，得2a1-a1=a1^2，即a1＝a1^2，
∵a1≠0，∴a1=1，
令n=2，得2a2-1=1+a2，解得a2=2，
当n≥2时，由2an-1=Sn得，2an-1-1=Sn-1，
两式相减得2an-2an-1=an，即an=2an-1，
∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an=2n-1，即数列{an}的通项公式an=2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，nan=n•2n-1，设数列{nan}的前n项和为Tn，
则Tn=1+2×2+3×2^2+…+n×2n-1，①
2Tn=1×2+2×2^2+3×2^3+…+n×2^n，②
①-②得，-Tn=1+2+2^2+…+2^n-1-n•2^n
=2n-1-n•2^n，
∴Tn=1+（n-1）2^n．