Question

高等数学极坐标下二重积分转化为两次积分有疑问,求解答,非常困扰

Answer 1

最简单的方法就是变量变换，结果还要乘上一个|J|，雅可比行列式(Jocobian)
令x = rcosθ，y = rsinθ
则J = ∂(x，y)/(r，θ)
= | ∂x/∂r ∂x/∂θ | = | cosθ - rsinθ |
= | ∂y/∂r ∂y/∂θ | = | sinθ rcosθ |
= (cosθ)(rcosθ) - (- rsinθ)(sinθ)
= rcos²θ + rsin²θ
= r
于是dxdy = |J| drdθ = r drdθ
即∫∫D(直角坐标) f(x，y) dxdy = ∫∫D(极坐标) f(rcosθ，rsinθ) r drdθ
逢是作坐标转移的变换，都涉及这个雅可比行列式。

追问

这个∫∫D(直角坐标) f(x，y) dxdy = ∫∫D(极坐标) f(rcosθ，rsinθ) r drdθ这个我知道啊,我问的是 ∫∫D(极坐标) f(rcosθ，rsinθ) r drdθ化为二次积分为什么是那样有疑问,你没理解我的意思

追答

极坐标化为二次积分是r在前，θ在后，相反次序就不行
∫(α→β) dθ ∫(r₁(θ)→r₂(θ)) f(rcosθ，rsinθ) r dr
这是极坐标，不是直角坐标，计算方法自然不同
化为二次积分时，面积微元r drdθ还是存在的，怎能漏掉？

追问

∫(y的范围) f(x，y) dy表示固定一个x0的截面面积,然后再在x的范围内积分一次就是体积了而∫(r₁(θ)→r₂(θ)) f(rcosθ，rsinθ) r dr好像不是我划线部分的截面面积啊?再积分一次怎么会是体积呢?

追答

终于知道你的意思了= =
在极坐标上，扇形面积公式A = (1/2)r²θ，弧长S = rθ
在极坐标上作图形：第*个区域的面积范围是θ* ≤ θ ≤ θ* + Δθ，r*≤ r ≤ r* + Δr
面积 = 两个扇形面积之差
= (1/2)(r* + Δr)² * Δθ - (1/2)(r*)² * Δθ
= (1/2)(2r* + Δr) * ΔrΔθ
= (r* + Δr/2)ΔrΔθ
= r¨ ΔrΔθ
面积微元dσ = r drdθ = (r dθ)(dr)，对于很小的面积，这个近似矩形
dr是径的宽度，r dθ是扇形弧长，近似直线
在极坐标上，要用极坐标的相应公式求面积，而不是直角坐标上的长 * 宽

追问

晕啊,你说的这些我都知道,我是对这个求体积的过程有疑问啊,二重积分几何意义不就是体积么,你直接告诉我∫(r₁(θ)→r₂(θ)) f(rcosθ，rsinθ) r dr代表什么意思就好了,例如∫(y的范围) f(x，y) dy表示固定一个x0的截面面积,dxdy=r drdθ这个我是知道的!!!!!

追答

∫(y₁→y₂) f(x，y) dy表示其中一片矩形截面积
∫(r₁(θ)→r₂(θ)) f(rcosθ，rsinθ) r dr也是同样道理，表示其中的一片扇形面积A(θ)，再加上外层的θ范围，绕一圈不也是体积么？？
至于你在纸上写的那个面积公式是错的，不是dρdθ，而是(ρ dθ)(dρ) !!

追问

我哪有写dρdθ?我就是不明白∫(r₁(θ)→r₂(θ)) f(rcosθ，rsinθ) r dr为什么其中的一片扇形面积A(θ)?,如果是的话,那么一小片扇形的体积微元不就应该是∫(r₁(θ)→r₂(θ)) f(rcosθ，rsinθ) r drdθ么?,明显不是啊,因为A(θ)乘以dθ怎么会是体积微元呢?然后再在θ范围内绕,那求出来的肯定不是体积啊

Answer 2

这个ρ的意义是要是dθ在一起理解的.不是和前面放在一起理解的.ρdθ在积分的时候是长度单位,积分是长度单位的乘积.
当初我是这么理解的.

Answer 3

dfasfdfadadffdsafggfh