Question

欧氏几何公理的公理内容

Answer 1

1.过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。
2.线段(有限直线)可以任意地延长。
3.以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆租空公理)。
4.凡是直角都相等(角公理)。
5.两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小于两个直角， 则两直线作延长时在此侧会相交。
上述前三条公理是尺规作图公理，用来定直线与圆。在纸面上用尺规划出的任何直线与圆，按定义而言，都不是「真正」数学上的直线与圆。然而，欧氏似乎是说：我们可以用尺规作出近似的图形，以帮助我们想像真正的图形，再配合正确的推理就够了。
第四条公理比较不一样，它好像是一个未证明的定理。事实上，它宣称著：直角的不变性或空间的齐性 (the homogeneity of space)。它规范了直角，为第五公理铺路。
第五公理又叫做平行公理 (the parallel axiom)，因为它等价于：
在一平面内，过直线外一点，可作且只可作一直线跟此直线平行。 （a,b,c,d 皆为正数）
1.跟同一个量相等的两个量相等；即若 a=c 且 b=c，则 a = b（等量代换公理）。
2.等量加等量，其和相等；即若 a=b 且 c=d，则 a+c = b+d（等量加法公理）。
3.等量减等量，其差相等；即若 a=b 且 c=d，则 a-c = b-d（等量减法公理）。
4.完全叠合的两个图形是全等的（移形叠合公理）。
5.全量大於分量，即 a+b>a（全量大於分量公理）。 事实上，欧氏《几何原本》开宗明义是由23个定义出发，接著才是十条几何公理与一般公理。在23个定义中，首六个特别值得提出来讨论：
1.点是没有部分的(A point is that which has no part.)。
换言之，点只占有位置而没有大小，即点的长度 d=0。这是修正毕氏学派「d>c」的失败而得到的。然而，在谈论线段的长度时，欧氏直接诉诸弊隐瞎常识，根本不用这个定义，避开了「由没有长度的点累积成有长度携历的线段」之困局。许多人抱怨「点是没有部分的」这句话难於理解，这是因为对毕氏学派的研究纲领缺乏了解的缘故。
2.线段只有长度而没有宽度(A line is breadless length.)。
3.线的极端是点(The extremities of a line are points.)
这表示线段是由点组成的并且线段只有长度而没有面积。
4.直线是其组成点，均匀地直放著的线 (A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.)
5.面只有长度与宽度(A suface is that which has length and breath only.)
6.面的极端是线(The extremities of a surface are lines.)。
4～6这三个定义表示，面是由线所组成的，没有厚度。因此，面只有面积，而没有体积。
利用23个定义、10条几何公理於一般公理，我们就可以推导出：等腰三角形的正逆定理，三角形三内角和定理。进一步还可以推导出泰利斯 (Thales) 基本定理，用同一种正多边形铺地板只有三种样式，正多面体恰好有五种。事实上，这10条公理就是欧式几何的总源头，已经可以推导出整个欧式几何了。

Answer 2

临江仙·几缺纤散何公理
陈振权
欧几伏氏里得明数理，全因任点无忧。若然质量突然竖胡休，何来随意划？虚幻怎能留！
宇宙时空随质度，无穷连续无由。研究哲理欲何求？要知离散事，公理觅源头！