Question

高等数学之微积分，第2大题

Answer 1

用 x^n 表示 x 的 n 次方, a/b 表示 b 分之 a，
<n> 表示下标或上标
∑<n=0, ∞>a<n> = a<0>+a<1>+a<2>+....
表示 n 从 0 到 无穷大连加和
∫ <0, x> 表示从 0 到 x 积分

2. 1/(1+x) = ∑<n=0, ∞>(-1)^n x^n (-1<x<1)
ln(1+x) = ∫ <0, x> dt/(1+t)
= ∫ <0, x> ∑<n=0, ∞>(-1)^n t^n dt
= ∑<n=0, ∞>(-1)^n x^(n+1)/(n+1)
(-1<x≤1)
lnx = ln(2+x-2) = ln{2[(1+(x-2)/2]}
= ln2 + ln[(1+(x-2)/2]
= ln2 + ∑<n=0, ∞>(-1)^n [(x-2)/2]^(n+1)/(n+1)
= ln2 + ∑<n=0, ∞>(-1)^n [1/2^(n+1)](x-2)^(n+1)/(n+1)
收敛域 -1 < (x-2)/2 ≤ 1, 得 0 < x ≤ 4