Question

在用泰勒公式求极限的时候，怎么确定把原来的函数写成几阶的泰勒公式？

比方说这个题我这么确定分子分母分别写成几阶泰勒公式？谢谢！

Answer 1

首先分别展开cosx、e^x
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...
e^(x^2)=1+x^2+x^4/2!+x^6/3!+...
cosx-e^(x^2)=(-3/2)x^2+(1/4!-1/2!)x^4+...
所以x→0时，cosx-e^(x^2)与(-3/2)x^2是等价无穷小
一直展开，直到够用即可

Answer 2

cosx-e^(x2)是二阶无穷小，sinx^2是二阶无穷小,这样分母是四阶无穷小，分子也要展开到四阶。
cosx=1-x^2/2+o(x^2)
e^(x^2)=1+x^2+o(x^2)
√(1+x^2)=1+(1/2)x^2-(1/8)x^4+o(x^4)
∴原式=lim(x→0)[(1/8)x^4+o(x^4)]/{[1-x^2/2+o(x^2)]-[1+x^2+o(x^2)]}sinx^2=(1/8)/(-3/2)=-1/12

追问

那个分母是四阶，是用2+2算出来的还是用2*2算出来的啊？谢谢

追答

是用2+2算出来的.