Question

正余弦定理内容及所有的证明方法

详细点

Answer 1

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。该图中，a与b应互换位置
　　对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质
　　a2=b2+c2-2*b*c*CosA
　　b2=a2+c2-2*a*c*CosB
　　c2=a2+b2-2*a*b*CosC
　　CosC=(a2+b2-c2)/2ab
　　CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
　　CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
　　证明：
　　∵如图，有a→+b→=c→
　　∴c·c=(a+b)·(a+b)
　　∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)
　　整理得到c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）
　　再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC
　　同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。
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　　平面几何证法：
　　在任意△ABC中
　　做AD⊥BC.
　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
　　根据勾股定理可得：
　　AC2=AD2+DC2
　　b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2
　　b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB
　　b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2
　　b2=c2+a2-2ac*cosB
　　cosB=(c2+a2-b2)/2ac
　　从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
　　注：a^2；b^2；c^2就是a的２次方、b的２次方、c的２次方；a*b、a*c就是a乘b、a乘c