Question

高中数学 参数方程问题

直线x=-1+t/2,y=√3t/2（t为参数）与圆x^2+y^2=a（a>0）相交于A、B两点，设P(-1,0)，且|PA|:|PB|=1:2，求实数a的值.

Answer 1

直线x=-1+(t/2)，y=(√3/2)t（t为参数）与圆x²+y²=a（a>0）相交于A、B两点，设P(-1,0)，且|PA|:|PB|=1:2，求实数a的值.
解：由x=-1+(t/2)，得t=2x+2；故直线方程为y=(√3/2)(2x+2)=(√3)(x+1)；x=-1时y=0，故P(-1，0)
在该直线上。故点P内分线段AB，分比λ=AP/PB=1/2。
将直线方程代入园的方程得x²+3(x+1)²=a；展开化简得4x²+6x+3-a=0；
设A(x₁，y₁)；B(x₂，y₂)；则x₁+x₂=-3/2；
y₁+y₂=(√3)(x₁+1)+(√3)(x₂+1)=(√3)(x₁+x₂)+2√3=-(3/2)√3+2√3=(1/2)√3；
于是按定比分点的坐标公式得：
[x₁+(1/2)x₂]/(1+1/2)=-1，化简得2x₁+x₂=-3...............(1)
[y₁+(1/2)y₂]/(1+1/2)=0，化简得 2y₁+y₂=0.................(2)
将x₁+x₂=-3/2代入(1)式得x₁-3/2=-3，故x₁=-3+3/2=-3/2；
将y₁+y₂=(1/2)√3代入(2)式得y₁+(1/2)√3=0，故y₁=-(1/2)√3；
A(x₁，y₁)在园上，故得a=9/4+3/4=12/4=3.

Answer 2

直线经过p点，可以将参数方程带入圆方程，这样就可以看出了算出答案即可的，利用后面比例

Answer 3