Question

已知关于x的一元二次方程x平方-(3k+1)x+2k平方+2k＝0

1.求证,无论k为何值,方程总有实数根
2.若等腰三角形ABC的一边长a＝6,另两边b,c恰好是这个方程的两个实数根,求三角形ABC的三边长。

Answer 1

1、Δ=（3k+1）²-4(2k²+2k)
=9k²+6k+1-8k²-8k
=k²-2k+1
=(k-1)²≥0;
所以无论k为何值,方程总有实数根

2、b+c=3k+1;
bc=2k²+2k;
b=c时；b=c=(3K+1)/2;
(3k+1)²/4=2k²+2k;
9k²+1+6k=8k²+8k;
k²-2k+1=0;
k=1;
b=c=2;
2+2=4＜6不符合；
b=6或c=6；
c=3k-5;
(3k-5)6=2k²+2k;
18k-30=2k²+2k;
2k²-16k+30=0;
k²-8k+15=0;
(k-3)(k-5)=0;
k=3或k=5；
k=3；c=4;a+b+c=6+6+4=16;
k=5;c=10;a+b+c=6+6+10=22;

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追问

第一小题为何有个△＝

追答

韦达定理；Δ=b²-4ac；
用来判别是否存在实数根的

Answer 2

(3K+1)平方-4（2K平方+2K）=K方-2k+1=（K-1）平方大于等于0 恒成立
所以 总有实根

若边a为底边 则b=c 方程有一个根 则（k-1）平方=0 则k=1
方程为x平方-4x+4=0 b=c=x=2
由于三角形两边之和大要大于第三边 则b=c=2 不成立

所以a=6有腰边 b或c有一个为腰边=6 所以6是方程的一个根
代入方程就可以求出 K 值
然后代入K值 解方程 一个为6 另一个不为6

Answer 3

1.这个可以简化为 （x-（3k+1）/2）^2+(2k)^2+2k-（（3k+1）/2）^2=0即（x-（3k+1）/2）^2=（（3k+1）/2）^2-(2k)^2-2k只要证明右边恒大于等于0即可证明方程总有实数根
2.第二问考虑两种情况 第一种是边长b=c
另一种是 a=6=bc其中一条
思路就是这样的