Question

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Answer 1

（1）
因为梯形ABCD为等腰梯形
所以AB=DC
因为M为AD中点
所以AM=DM
所以BM=CM，即△ABM≌△CDM

（2）
因为E、F分别为BM、CM中点，且BM=CM
所以ME=MF
连接EF，因为ME=BE=MF=NF
所以MF为梯形ABCD中线
因为N为BC中点
所以NF=NE
因为MF为梯形ABCD中线，MN⊥BC
所以NE=NF=ME=MF，且EN∥FM,ME∥NF
证明四边形MENF为等边平行四边形，即菱形

（3）
连接EF、MN，因为四边形MENF为正方形
所以EF=MN
因为EF为梯形ABCD中线
所以ME=EB=NE=NF=MF=FC
即△BEN≌△CNF≌△MEF≌△NEF
所以EF=MN=BN=CN
由上述得出梯形高MN:底边BC=1;2

Answer 2

1）.因为ABCD为等腰梯形
所以∠A=∠D，AB=CD
因为M为AD中点
所以AM=DM
所以△ABM≌△DCM（SAS）
2）.菱形

因为N，F点分别为BC，MC中点
所以NF为三角形BCM的中位线
所以NF平行BM（中位线定理）
既NF平行EM
同理可证NE平行FM
所以四边形MENF为平行四边形
因为ABCD为等腰梯形且M为AD中点
所以BM等于CM（可以用全等三角形证，过程略）
既EM等于FM
所以平行四边形MENF为菱形
3）.若MENF为矩形根据 2) 结论可知MENF为正方形
连接MN，易知MN垂直BC
所以MN为等腰梯形MENF和等腰直角三角形BCM的高
　 等腰梯形的高与下底的关系
　 既MN与BC的关系
在等腰直角三角形BCM中，BC为下底，MN为BC边对应的高
所以BC=2MN