Question

已知函数f（x）=ax²+bx，且1≤f（-1）≤2,2≤f（1）≤4,求f

Answer 1

解
f(x)=ax²+bx
f(1)=a+b
f(-1)=a-b

f(-2)=4a-2b=Af(1)+Bf(-1)
即 4a-2b=A(a+b)+B(a-b)=(A+B)a+(A-B)b
A+B=4
A-B=-2
所以 A=1，B=3
即 f(-2)=f(1)+3f(-1)
1≤f(-1)≤2, 3 ≤ 3f(-1)≤ 6 (1)
2≤f(1)≤4, (2)
(1)+(2)
5≤f(1)+3f(-1)≤10
即 5≤f(-2)≤10

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Answer 2

1≤f(-1)=a-b≤2

2≤f(1)=a+b≤4 ①

f(-2)=4a-2b

设f(-2)=4a-2b=mf(-1)+nf(1)=m(a-b)+n(a+b)

4a-2b=(m+n)a+(n-m)b

所以m+n=4,n-m=-2

可得m=3 ,n=1

所以f（-2）=3f(-1)+f(1)

因为1≤f(-1)=a-b≤2，所以3≤3f(-1)=3a-3b≤6 ②

所以①+②得 5≤f（-2）≤10