微分的导数
正弦函数的导数
假设正弦函数y=sin x（x的单位为弧度）上有一点(x,y)和另一点(x+δx,y+δy)：
d/dx(sin x)
=limδx→0 δy/δx
=limδx→0 [sin (x+δx)-sin x]/δx
=limδx→0 2[cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/δx （sin A-sin B=2[cos 0.5(A+B)][sin 0.5(A-B)]）
=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/0.5δx （两边除以2）
=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×[sin 0.5(δx)]/0.5δx
=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×limδx→0 [sin 0.5(δx)]/0.5δx
=cos 0.5(2x)×1 （limθ→0 (sin θ)/θ=1）
=cos x
最后得出d/dx(sin x)=cos x。
余弦函数的导数
我们知道cos x=sin(π/2-x)，所以d/dx(cos x)=d/dx[sin (π/2-x)]。
假设π/2-x=u，我们可以用连锁律对余弦函数y=cos x求导：
d/dx(cos x)
=d/dx[sin (π/2-x)]
=d/du[sin (π/2-x)]×d/dx(π/2-x) （连锁律）
=cos (π/2-x)×(-1) （d/dx(sin x)=cos x）
=-cos (π/2-x)
=-sin x （cos (π/2-x)=sin x）
最后得出d/dx(cos x)=-sin x 。
正切函数的导数
由于正切函数tan x=(sin x)/(cos x)，我们可以用除法律对其求导：
d/dx(tan x)
=d/dx[(sin x)/(cos x)] （tan x=(sin x)/(cos x)）
=[(cos x)d/dx(sin x)-(sin x)d/dx(cos x)]/(cos^2 x) （除法律）
=[cos^2 x-(sin x)(-sin x)]/cos^2 x
=(cos^2 x+sin^2 x)/cos^2 x
=1/cos^2 x
=sec^2 x
最后得出d/dx(tan x)=sec^2 x。
三角函数的应用1
当我们遇到y=sin/cos/tan u（u是自变量为x的函数且常为ax+b的形式）这类函数的时候，可以使用连锁律求导：
①y=sin u
d/dx(sin u)
=(dy/du)(du/dx) （连锁律）
=(cos u)(du/dx)
当u的形式为ax+b时，du/dx=a，所以：
d/dx[sin(ax+b)]=a[cos(ax+b)]
②y=cos
当u的形式为ax+b时，du/dx=a，所以：
d/dx[cos(ax+b)]=-a[sin(ax+b)]
③y=tan u
d/dx(tan u)
=(dy/du)(du/dx) （连锁律）
=(sec^2 u)(du/dx)
当u的形式为ax+b时，du/dx=a，所以：
d/dx[tan(ax+b)]=a[sec^2(ac+b)]
三角函数的应用2
有时我们需要对y=sin^n x或y=cos^n x（n为常数）这类函数求导，使用连锁律也可以解决：
这里我们使用“连锁律的应用1”中得到的公式：d/dx(y^n)=[ny^(n-1)](dy/dx)
①y=sin^n x
dy/dx
=n[sin^(n-1) x]d/dx(sin x)
=n[sin^(n-1) x](cos x)
②y=cos^n x
dy/dx
=n[cos^(n-1) x]d/dx(cos x)
=-n[cos^(n-1) x](sin x)
得出公式：
d/dx(sin^n x)=n[sin^(n-1) x](cos x)
d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x) 自然指数函数的导数
在画图软件里，我们可以看出在函数y=e^x上任意一点(x,y)的斜率均等于y。也就是说，m=dy/dx=y。
因此，函数e^x的导数由以下公式获得
证明：y=e^x,
y+dy=e^(x+dx),
dy=e^(x+dx)-e^x
=e^x(e^dx-1)
=e^x(1+dx+dx^2/2!+……+dx^n/n!-1){e^a=1+a+a^n/n!(n∈N）}
≈dxe^x
∴d/dx(e^x)=e^x
自然指数函数的应用
我们可以使用连锁律对y=e^u（u是自变量为x的函数）求导：
dy/dx
=(dy/du)(du/dx) （连锁律）
=[d/du(e^u)](du/dx)
=(e^u)(du/dx)
最后得出：
d/dx(e^u)=(e^u)(du/dx)
如果u的形式为ax+b（a和b均为常数），那么du/dx=a，可以得出：
d/dx[e^(ax+b)]=ae^(ax+b)
自然对数函数的导数
我们可以通过d/dx(e^x)=e^x对自然对数函数y=ln x求导：
y=ln x
x=e^y
d/dx(x)=d/dx(e^y)
d/dx(x)=d/dy(e^y)(dy/dx) （连锁律）
d/dx(x)=(e^y)(dy/dx)
(e^y)(dy/dx)=1
x(dy/dx)=1 （x=e^y）
dy/dx=1/x
最后得出：
d/dx(ln x)=1/x
自然对数函数的应用
我们可以使用连锁律对y=ln u（u是自变量为x的函数）求导：
dy/dx
=(dy/du)(du/dx) （连锁律）
=[d/du(ln u)](du/dx)
=(1/u)(du/dx)
可以得出：
d/dx(ln u)=(1/u)(du/dx)
如果u的形式为ax+b（a和b均为常数），那么du/dx=a，可以得出：
d/dx[ln (ax+b)]=a/(ax+b) 三角函数
d/dx(sin x)=cos x
d/dx(cos x)=-sin x
d/dx(tan x)=sec^2 x
d/dx[sin(ax+b)]=a[cos(ax+b)]
d/dx[cos(ax+b)]=-a[sin(ax+b)]
d/dx[tan(ax+b)]=a[sec^2(ax+b)]
d/dx(sin^n x)=n[sin^(n-1) x](cos x)
d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x)
自然指数函数
d/dx(e^x)=e^x
d/dx(e^u)=(e^u)(du/dx)
d/dx[e^(ax+b)]=ae^(ax+b)
自然对数函数
d/dx(ln x)=1/x
d/dx(ln u)=(1/u)(du/dx)
d/dx[ln (ax+b)]=a/(ax+b)
