Question

斜率为1的直线l与椭圆x2／4+y2／2=1交于两点A，B。O是坐标原点，当三角形AOB面积最大时

，求直线l的方程

Answer 1

正在做啊

追问

恩

追答

直线L的方程显然是y＝x＋b。
联立：y＝x＋b、x^2/4＋y^2/2＝1，消去y，得：x^2/4＋（x＋b）^2/2＝1，
∴x^2＋2（x^2＋2bx＋b^2）＝4，∴3x^2＋4bx＋2b^2－4＝0。

∵点A、B都在直线L上，∴可令A、B的坐标分别是（m，m＋b）、（n，n＋b）。
显然，m、n是方程3x^2＋4bx＋2b^2－4＝0的两根，∴由韦达定理，有：
m＋n＝－4b/3、mn＝（2b^2－4）/3。

改写直线L的方程，得：x－y＋b＝0，∴点O的AB的距离d＝｜b｜/√2。
又｜AB｜＝√［（m－n）^2＋（m＋b－n－b）^2］＝√2×√［（m＋n）^2－4mn］
＝√2×√［16b^2/9－4（2b^2－4）/3］＝（4/3）√（2b^2－3b^2＋6）＝（4/3）√（6－b^2）。
∴△AOB的面积
＝（1/2）｜AB｜d＝（1/2）（｜b｜/√2）（4/3）√（6－b^2）
＝（√2/3）√（6b^2－b^4）＝（√2/3）√［9－（9－9b^2＋b^4）］
＝（√2/3）√［9－（3－b^2）^2］。
∴当b^2＝3时，△AOB的面积有最大值，由b^2＝3，得：b＝√3，或b＝－√3。
∴满足条件的直线L的方程有两条，分别是：y＝x＝√3；　y＝x－√3。