Question

已知向量a=(cosα,sinα),向量b=(cosβ,sinβ),0＜β＜α＜π.若|a-b|=根号二，求证a⊥b

Answer 1

证明：∵|a-b|=√2
∴a²-2ab+b²=2
∵a=(cosα,sinα),向量b=(cosβ,sinβ),
∴1-2cos(a,b)+1=2
cos(a,b)=0
∵0＜β＜α＜π
∴(a,b)=π/2
∴a⊥b

Answer 2

因为|a-b|=根号二 所以 (a-b)*(a-b)=2 因为a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ)
所以 (a-b)*(a-b)=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2=cos^2α-2cosαcosβ+cos^2β+sin^2α-2sinαsinβ+sin^2β=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2 所以 cosαcosβ+sinαsinβ=0
所以a*b= cosαcosβ+sinαsinβ=0
所以a⊥b