Question

已知数列{an}中，a1=5/6.an+1=1/3an+1/2的n+1次方，求an

Answer 1

法一：累加法。
a(n+1)=an/3+1/2ⁿ⁺¹，两边同时乘以3ⁿ⁺¹。
3ⁿ⁺¹a(n+1)=3ⁿan+(3/2)ⁿ⁺¹
3ⁿ⁺¹a(n+1)-3ⁿan=(3/2)ⁿ⁺¹
从而有：
3ⁿan-3ⁿ⁻¹a(n-1)=(3/2)ⁿ
3ⁿ⁻¹a(n-1)-3ⁿ⁻²a(n-2)=(3/2)ⁿ⁻¹
............................................
3²a2-3a1=（3/2）²
3a1=5/2
累加得3ⁿan=3（3/2）ⁿ-2
故an=3/2ⁿ-2/3ⁿ
综上，数列{an}的通项公式为an=3/2ⁿ-2/3ⁿ。

法二：待定系数法。
a(n+1)=1/3×an+1/2ⁿ⁺¹
设待定系数s，令a(n+1)+s/2ⁿ⁺¹=1/3×(an+s/2ⁿ).
展开得a(n+1)=1/3×an+(-s/3)/2ⁿ⁺¹.
对比原式，得s=-3，从而：
a(n+1)-3/2ⁿ⁺¹=1/3×(an-3/2ⁿ),a1-3/2=-2/3.
∴数列{an-3/2ⁿ}是首项为-2/3，公比为1/3的等比数列。
∴an-3/2ⁿ=（a1-3/2）×qⁿ⁻¹=-2/3ⁿ。
∴an=3/2ⁿ-2/3ⁿ。
综上，数列{an}的通项公式为3/2ⁿ-2/3ⁿ。

还有很多方法求这个数列通项，在下就为你列出这两种吧，希望对您学习有帮助。

Answer 2

81

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