Question

初三数学问题

一.
如图,△ABC中,AB=AC,D是BC中点,F是AC中点,AN是△ABC的外角 角MAC的平分线,延长DF交AN于点E
(1)判断四边形ABDE的形状,并说明理由;(2)判断四边形ADCE的形状,并说明理由.

Answer 1

（1）解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：
∵AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，
∴DF∥AB，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC，
∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠NAD=90°，
∴AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；

（2）解：CE∥AD，CE=AD；理由如下：
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE= ∠MAC，
∵∠MAC=∠B+∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠MAE=∠B，
∴AN∥BC，
∵AB=AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AN，
∴AD∥CE，
∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

追问

请问，在(2)中CE垂直于AN如何求得？谢谢了！
在(2)中，可不可以用对角线相等且互相平分，来求平行四边形？

追答

∵AN∥BC（已证），∴∠EAD=∠CDA，∴∠AEC+∠DCE=180°，所以∠AEC=∠DCE=90°
应该不可以，我没有证出：F是DE的中点。

追问

谢谢啦！

Answer 2

解 析（1）四边形ABDE是平行四边形，有等腰三角形的性质和中位线的性质可证明：AB∥DE，再利用等腰三角形的性质和角平分线的定义证明AE∥BD，进而证明四边形ABDE的形状为平行四边形；;(2)四边形ADCE为矩形:先证平行四边形，再有一个角是直角即证得是矩形
解 答（1）解：四边形ABDE是平行四边形，
理由如下：
∵AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，
∴DF∥AB，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC，
∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠NAD=90°，
∴AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
(2)四边形ADCE为矩形；
理由如下：
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE= ∠MAC，
∵∠MAC=∠B+∠ACB，
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，
∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，
∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，
∵CE⊥AN，∴AD∥CE，
∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

追问

请问，在(2)问中“CE垂直于AN如何得出？谢谢了！

Answer 3

（1）平行四边形

△ABC为等腰三角形
角MAN=角NAC=角ABC=角ACB，所以AN//BC
AD⊥BC，F是AC中点，AF=FC=FD，所以角ADF=角DAF=角BAD,AB//ED
所以四边形ABDE是平行四边形

（2）可解

长方形