Question

17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

（1）a=2bsinA. 求cosA+sinC的取值范围.
（2）求B的大小；

Answer 1

1、因为B=30°，而ABC为锐角三角形，A+C=180°-30°=150°，所以，要得出答案，就要用上这个已知条件。
cosA=sin(90°-A)
sicC=sin(180°-B-A)
cosA+sicC=sin(90°-A)+sin(180°-B-A)
利用三角函数的关系：sinα＋sinβ＝2sin[(α+β)/2]·cos[(α+β)/2]得：
cosA+sicC=sin(90°-A)+sin(180°-B-A)
=2sin{[(90°-A)+ (180°-B-A)]/2}]·cos{[(90°-A)-(180°-B-A)]/2}
=2sin(120°-A)·cos(-30°)
=√3sin(120°-A)…………………………………………………………（1）式
因为A是锐角，即0＜A＜90°
所以30°＜120°-A＜120°
所以1/2＜sin(120°-A)＜1
所以√3/2＜√3sin(120°-A)＜√3
所以cosA+sicC的取值范围是（√3/2，√3）
2、过C点作AB的垂线CD，其中CD交AB于D点。
则在三角形ACD中，CD=ACsinCAD=bsinA
在三角形BCD中，BC=a=2bsinA
所以sinB=CD/BC=bsinA/2bsinA=1/2
因为三角形ABC是锐角三角形，所以，角B是锐角，而sinB=1/2，B=30°

Answer 2

因:a=2bsinA
b/sinB=a/sinA=2b
sinB=1/2
B=30度,或150度
所以:cos((B/2)-45度)=cos(-30度)=(根号3)/2
或,cos((B/2)-45度)=cos(30度)=(根号3)/2

cosA+sinC=sin(90度-A)+sinC=2sin(45度-((A-C)/2))*cos(45度-((A+C)/2))
=2sin(45度-((A-C)/2))*cos((B/2)-45度)
=(根号3)*sin(45度-((A-C)/2))
当(A-C)/2=-45度, C-A=90度,cosA+sinC为最大值:根号3

A-C=(A+C)-2C=180度-B-2C<180度-B<=180度-30度
(A-C)/2<75度
45度-((A-C)/2)>45度-75度
45度-((A-C)/2)>-30度
所以:cosA+sinC>(根号3)*sin(-30度)
cosA+sinC>-(根号3)/2

综合以上,得: -(根号3)/2<cosA+sinC<=根号3