Question

两个周期函数相加还是周期函数吗

Answer 1

两个周期函数相加不一定是周期函数。

这里通过反证法进行论证：

y=sin(x)和y=sin((√3)x)都是周期函数，但是两个周期函数相加的结果为：y=sin(x)+sin((√3)x)不是周期函数，这里缺少了一个条件，那就是两个函数的周期比属于有理数。

完整的命题为：设f1（x）=sin a1x，f2（x）=cos a2x，则f1（x）与f2（x）之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。

扩展资料：

周期函数的判定方法分为以下几步：

1、判断f（x）的定义域是否有界；

2、根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f（x+T）= f（x）中是与x无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f（x）是周期函数，若这样的T不存在则f（x）为非周期函数。

3、一般用反证法证明。（若f（x）是周期函数，推出矛盾，从而得出f（x）是非周期函数）。

参考资料来源：百度百科-周期函数

Answer 2

不一定
u(x) = sin x 周期2π
v(x) = sin 2πx 周期1
f(x) = u(x) + v(x) = sin x + sin 2πx 就不是周期函数
反证法，如果f(x)是周期函数，且最小正周期是t
f(x+t) - f(x) = sin(x+t) + sin(2πx + 2πt) - sinx - sin(2πx)
= 2cos(x+t/2)sin(t/2) + 2cos(πx+πt)sin(πt)
= 0
上式对于任何x都等于0，所以必须两个系数都恒等于0，也就是
2sin(t/2) = 0
2sin(πt) = 0
分别求得：
t=2mπ; t=n 其中m,n是正整数
则2mπ=n；π=n/2m
n/2m是有理数，而π是无理数，矛盾，所以原命题得证，f(x)不是周期函数

Answer 3

不一定。如果两个周期函数的周期之比是有理数，那么它们的和函数也是一个周期函数，且它的周期是两个原函数周期的最小公倍数。但是如果两个周期函数的周期之比是无理数，那么它们的和函数不是周期函数，因为它没有周期。

Answer 4

如果两个函数周期分别为T1,T2(T1<T2)
若T1=kT2(k为正整数)
那么这两个函数相加还是周期函数