Question

已知函数f（x）=（根号下x）-（1/x），求证

（1）f（x）在其定义域上为增函数

（2）满足等式f（x）=1的实数x的值只有一个

Answer 1

解：（1）设x1<x2<0,
f(x1)-f(x2)=√x1-√x2+1/x2-1/x1=(√x1-√x2)+(x1-x2)/x1x2<0恒成立
0<x1<x2,f(x1)-f(x2)=√x1-√x2+1/x2-1/x1=(√x1-√x2)+(x1-x2)/x1x2<0亦恒成立
所以f（x）在其定义域上为增函数

（2）设当x=x0时，f(x0)=1
若存在其他解x=x1≠x0有f(x1)=1
当x1>x0,f(x1)>f(x0)，矛盾
当x1<x0,f(x1)<f(x0)，矛盾
所以不存在x=x1≠x0有f(x1)=1
即满足等式f（x）=1的实数x的值只有一个

Answer 2

f(x)=√x - 1/x
定义域：x>0
设两任意正实数m,n,有m>n>0
f(m)-f(n)=√m - 1/m - (√n - 1/n)
=√m - √n - 1/m +1/n
=√m - √n +(m-n)/mn
=(√m - √n)[1+(√m + √n)/mn]
因为m>n>0
所以(√m - √n)[1+(√m + √n)/mn]>0
即f(m)>f(n),得证

f（x）=1，即√x - 1/x=1定义域x>0上只有一个实数解
√x = 1/x+1
x=1/x² + 2/x + 1
x³-x²-2x-1=0
一元三次方程的只有一解的判别方法请参考盛金公式：
http://baike.baidu.com/view/606391.htm