Question

特征向量与基础解系有什么关系么

Answer 1

特征向量与基础解系关系：特征向量是特征值对应齐次方程组的基础解系 。

特征值向量对于矩阵而言的，特征向量有对应的特征值，如果Ax=ax，则x就是对应于特征值a的特征向量。而解向量是对于方程组而言的，就是“方程组的解”，是一个意思。

基础解系是对于方程组而言的,方程组才有所谓的基础解系，就是方程所有解的“基”。对于空间而言的,空间有它的“基”，就是线性无关的几个向量，然后空间中的任何一个向量都能由“基”的线性组合来表示。

扩展资料：

基础解系和通解的关系

对于一个方程组，有无穷多组的解来说，最基础的，不用乘系数的那组方程的解，如（1，2，3）和（2，4，6）及（3，6，9）以及（4，8，12）......等均符合方程的解，则系数K为1，2，3，4.....等，因此（1，2，3）就为方程组的基础解系。

A是n阶实对称矩阵，假如r(A)=1.则它的特征值为t1=a11+a22+...+ann,t2=t3=...tn=0；对应于t1的特征向量为b1，t2~tn的分别为b2~bn。

此时，Ax=0的解就是k2b2+k3b3+...+knbn；其中ki不全为零。由于:Ax=0Ax=0*B，B为A的特征向量，对应一个特征值的特征向量写成通解的形式是乘上ki并加到一起。这是基础解系和通解的关系。

参考资料：百度百科词条--基础解系

Answer 2

①特征向量所对应的是特征方程(λiE-A)X=0的解,没有基础解系的概念(注意：当你脑海里有那么一瞬间记得好像把他们线性组合过，那其实是在讨论他们的相关性，和基础解系打不着关系)。
②基础解系所对应的是方程组AX=0/AX=b的解，是线性方程组所有解的线性组合。
③综上：特征值、特征向量是求相似矩阵的，和方程组的解没有关系，只不过求特征向量和求方程解的过程相似而已。
④有错请及时纠正我😂。

Answer 3

矩阵A的属于同一特征值的全部特征向量 是对应齐次线性方程组的基础解系的 非零 线性组合

追问

相似矩阵的特征向量与原矩阵的特征向量是一样的么？
设A为三阶实对称矩阵，存在a=[1,-1,1]T,使得Aa+2a=0,且r（A）=1，求正交阵，把A对角化。
求出来的特征向量是A的相似矩阵的吧，可以直接用相似矩阵的正交化后的对角矩阵代替A正交化的结果么？不知道我的意思你看懂没。

追答

1. 不是

2. Aa+2a=0 说明 a 是A的属于特征值 -2 的特征向量.

   r(A)=1 说明A的另两个特征值是0,0.

   与a正交的向量 (1,1,0)^T, (1,-1,-2)^T, 单位化后构成正交矩阵P, P^-1AP=diag(-2,0,0)

3. 没看懂.

追问

你确定你的答案对么，我算出来的正交阵怎么是个单位阵啊，相似的矩阵不是应该有相同的特征向量么？

追答

1 我确定对才会答
2 正交阵显然不是单位矩阵
3. 没这个结论. 相似矩阵的特征值相同, 特征向量不一定

Answer 4

胡说，特征值为0对应的特征向量才是基础解系的

Answer 5

想着你的向量与基础解其有什么关系，特征向量以及主他们是胡莲以有着密切的关系