Question

已知函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax-a(a属于R)当a=-3时

已知函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax-a(a属于R)（1）当a=-3时，求函数f(x)的极值（2）若函数f（x）的图像与x轴只有一个交点，求a的取值范围

Answer 1

1)
f(x)=(1/3)x�0�6-x�0�5-3x+3
f'(x)=x�0�5-2x-3=(x-3)(x+1)
令f'(x)>0, 则x>3或x<-1; 令f'(x)<0, 则-1<x<3
∴f(x)在(-∞,-1)和(3,+∞)上单调增; 在(-1,3)上单调减
∴f(x)在x=-1处取极大值,x=3处取极小值
f(-1)=-1/3-1+3+3=14/3
f(3)=9-9-9+3=-6
综上,f(x)极大值为f(-1)=14/3, 极小值为f(3)=-6
2)
f(x)=(1/3)x�0�6-x�0�5+ax-a
f'(x)=x�0�5-2x+a
由题意: f(x)单调,或者f(x)的极大值在x轴下方, 或者x的极小值在x轴上方
①f(x)单调,则f'(x)>=0或f'(x)<=0恒成立
∴△=4-4a<=0, ∴a>=1
②f(x)不是单调的, 则△=4-4a>0, a<1
令f'(x)>0, 则x>1+√(1-a)或x<1-√(1-a); 令f'(x)<0, 则1-√(1-a)<x<1+√(1-a)
∴f(x)在(-∞,1-√(1-a))和(1+√(1-a),+∞)上单调增; 在(1-√(1-a),1+√(1-a))上单调减
∴f(x)在x=1-√(1-a)处取极大值,x=1+√(1-a)处取极小值
f(x)=(1/3)x�0�6-x�0�5+ax-a=(1/3)(x�0�5-2x+a)(x-1)+(2/3)(ax-a-x)
极大值 f(1-√(1-a))=(2/3)(ax-a-x)<0, (1-a)√(1-a)<1 解得 √(1-a)<1, 0<a<1
极小值 f(1+√(1-a))=(2/3)(ax-a-x)>0, (a-1)√(1-a)>1 而a-1<0, ∴无解
综上,a>0,即a的取值范围为(0,+∞)

Answer 2

1求导，导函数等于零时，即根为极值。2函数始终与X轴有交点，所以当两个极点大于零时，只有一个交点。