Question

若f(x)在点x0n阶导数存在，则f(x) 在点x0的某个邻域内存在小于n阶的导数，且存在小于n-1阶的连续导数。

Answer 1

　　因为
　　　　f(n)(x0) = lim(h→0)[f(n-1)(x0+h) - f(n-1)(x0)]/h，
即 f 在 x0 点的 n 阶导数需由 f 在 x0 点附近（x0的某个邻域 O(x0)）的n-1 阶导数得到的。依次法往前推有限次，即得知 “f(x) 在O(x0)存在小于 n 阶的导数”。
　　其次，由于 f 在 x0 点附近（x0的某个邻域O(x0)）的 n-1 阶导数存在，因此 f 在 O(x0) 的 n-2 阶导数需连续。依次法往前推有限次，即得知 “f 在 O(x0) 存在小于n-1阶的连续导数”。

追问

亲 　f在点x0存在n阶导数 和f在x0点附近存在n阶导数 不一样是吧？

追答

当然不一样。“你有钱” 和 “你附近的人有钱” 一样吗？