Question

已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为多少度?

1.已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为多少度?
2.当0小于x小于π/4时，函数f(x)=(cos^2x)/(cosxsinx-sin^2x)的最小值是
3.函数y=sin(x-π/6)cosx的最小值是

Answer 1

1. 由题意：|a-b|^2=(a-b)·(a-b)=|a|^2+|b|^2-2a·b=|a|^2，即：2a·b=|a|^2
   |a+b|^2=(a+b)·(a+b)=|a|^2+|b|^2+2a·b=2|a|^2+|a|^2=3|a|^2，故：|a+b|=sqrt(3)|a|
   而：a·(a+b)=|a|^2+a·b=3|a|^2/2=|a|*|a+b|*cos<a,a+b>
   故：cos<a,a+b>=(3|a|^2/2)/(sqrt(3)|a|^2)=sqrt(3)/2，即：a与a+b的夹角为π/6
   ------------------这是解析方法，但建议使用数形结合方法：
   |a|=|b|=|a-b|，说明：a和b和a-b所在的三角形是等边三角形，故a+b是菱形的长对角线
   即：a与a+b的夹角为π/6

2. f（x）=cos^2x/（cosxsinx-sin^2x）
   =1/(tgx-tg^2x)
   =1/[-(tgx-1/2)+1/4]
   0<x<π/4，0<tgx<1
   所以当tgx=1/2时，f(x)有最小值=4

3. y=sin(x-π/6)cosx
   =sinxcosπ/6cosx-cosxsinπ/6cosx
   =√3/4sin2x-1/2(cosx)^2
   =√3/4sin2x-1/4(1+cos2x)
   =√3/4sin2x-1/4cos2x-1/4
   =1/2(√3/2sin2x-1/2cos2x)-1/4
   =1/2sin(2x-π/6)-1/4
   当sin(2x-π/6)=-1时y 有最小值.
   y=-3/4
   

追问

第一题能详细点吗？没看懂

Answer 2

1、a向量与b向量成60°，所以a向量与（a+b）向量的夹角为30°
2、因为0<x<pai/4,所以cosx不等于0，且 0<tanx<1
分子分母上下同除cos^2x得：
1/(tanx-tan^2x)
配方得：
1/［-(x-1/2)^2+1/4］
因为要求min值，所以取x=1/2
得min值为4
3、y=sin(x-π/6)cosx
解：y=sin(x-π/6)cosx
=(√3/2sinx-1/2cosx)cosx
=√3/2sinxcosx-1/2cos^2x
=√3/4sin2x-1/4(cos2x+1)
=√3/4sin2x-1/4cos2x-1/4
=1/2(√3/2sin2x-1/2cos2x)-1/4
=1/2sin(2x-30°)-1/4
所以最小值是-3/4

让我有种坐回高三课桌的赶脚。。。

Answer 3

1、30°，（数形结合）

2、f（x）=cotx+1，按你体重的条件，没有最小值啊，我想，是不是题目打错了，应该是当0小于x小于等于π/4时吧，这时，当x=π/4时，f(x)有最小值2

3、y=1/2sin(2x-π/6)-1/4，所以最小值是-1/2-1/4=-3/4