Question

证明下列等式

Answer 1

首先结出两个积分为arctan1-arctanx和arctan(1/x)-arctan1。
注意x>0，在这个区间内反正切函数arctan的值域是0到π/2。即两个积分每一项的取值都在0到π/2内，这样，两个积分式的取值范围分别是-π/4到0 和 0到π/4。
而正切函数tan在-π/2到π/2内是单调的，即：在-π/2到π/2内，若tanA=tanB，则A=B。对两个积分同时取正切，利用两角差的正切公式即可证明两式相等。
这个题的关键就在于用一个单调函数作用于两个式子

Answer 2

令t=1/u
则积分限由（x,1）变换为（1/x，1）
dt=d(1/u)=-u^(-2)du
被积函数
(1+t^2)^-1=(1+u^-2)^-1=[u^2/(1+u^2]
由此原积分变换为
∫-[u^2/(1+u^2]u^(-2)du=∫-1/(1+u^2]du 积分限（1/x→1）
交换积分上下限，可去掉被积函数-号
由此得证
望采纳 谢谢！

Answer 3

证：
∫[x：1]dt/(1+t²)
=arctant|[x：1]
=arctan1-arctanx
=π/4 -arctanx
∫[1：1/x]dt/(1+t²)
=arctant|[1：1/x]
=arctan(1/x) -arctan1
=arccotx -π/4
=π/2 -arctanx -π/4
=π/4 -arctanx
∫[x：1]dt/(1+t²)=∫[1：1/x]dt/(1+t²)