Question

大学数学复变函数题目求解答

Answer 1

设z=a+bi，z->0<==>a->0,b->0
lim（z->0)f(z)=lim（z->0)Re(z)/|z|=lim（a->0,b->0)a/√（a²+b²）
设b=g(a),g(0)=0,lim（a->0）g(a)=0，z沿b=g(a)方向趋近于0，
原式=lim（a->0）a/√（a²+b²），0/0型，用洛必达法则：
=lim（a->0）1/[(1/2)(2a+2bb')/√（a²+b²）]=√（a²+b²）/(a+bb')
设z沿b=ka方向趋近于0，
原式=lim（a->0，b->0）a/|a|√（1+k²）=±1/√（1+k²）
设z沿b=ka²方向趋近于0，
原式=lim（a->0，b->0）a/|a|√（1+k²a²）=±1
与趋近于0的路径有关。

追答

如果b'有限，仍是0/0型，继续用洛必达法则
--->[(a十bb')/√(a²十b²)]/(1十b'²十bb")
极限下= √(a²十b²)/ (a十bb')
[ √(a²十b²)/ (a十bb') ]²=1/ (1十b'²十bb")
如果b"有限，
极限=±1/ √ (1十b'²十bb")
= ±1/ √ (1十b'²)
相当于可以看作沿曲线b=g(a)在0点的切线方向趋近于0