Question

关于基本不等式的一个很简单的小问题

比如说一个函数(3x^2+4xy)/(x^2+y^2)，它的值小于等于（3x^2+x^2+4y^2)/(x^2+y^2)=4

答案里就直接把4当做它的最大值了，为什么可以呢？分子取到了最大值又无法保证在分母的影响下这个函数也能取到最大值。

这个问题困惑了我两年了 求教。

Answer 1

∵3x²+4xy≤3x²+x²+4y²，又x²+y²>0，
∴不等式两边同除以(x²+y²)，得(3x²+4xy)/(x²+y²)≤(4x²+4y²)/(x²+y²)=4，
即(3x²+4xy)/(x²+y²)≤4，当且仅当x=2y时等号成立，
故(3x²+4xy)/(x²+y²)的最大值是4。

Answer 2

4是整个是最大值，不是分子，也不是分目的
以后，你学过函数微分就知道，最值问题，就是导数哈，区间呀，理解就会更全面点

追问

我的意思是3x^2+x^2+4y^2只是分子可以取到的最大值，但是这个时候分母又不是最小的，怎么能保证没有其他值比他更大了呢？