Question

为什么用配方法和正交替换法将实二次型化为标准形时，答案有时不一致呢？

RT
第二问： 证明：如果任一个n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量，则A是一个数量矩阵。

两个都回答再给分哈！^_^

Answer 1

第一问没什么好奇怪的，一个矩阵的标准形有很多个，即使都用配方法都不一定能得到相同的标准形，但是正交替换法一般得到的是一致的。

这个首先肯定的是A的特征值都是1，其实只要证明A的若当标准形是对角阵就可以了
事实上设A的若当标准形为J,哪么A=T^(-1)JT,如果J-E的秩不为零，由于T是可逆阵，于是T^(-1)（J-E)T一定不为零。哪么必然存在一个向量e,使T^(-1)（J-E)Te不为零，而Ae=Ee+T^(-1)（J-E)Te=e+T^(-1)（J-E)Te,这与Ae=e相矛盾，因此A的若当标准形是对角阵，
从上，A是一个数量矩阵。

Answer 2

第一题不会
第二题：
设v是n阶矩阵A的特征值
由题意 矩阵特征值对应的线性无关特征向量的个数和是n
说明：1)矩阵可对角化
2)A满秩
由于特征向量空间的维数和是n
那么其中一最大线性无关组是e1..en；e1..en是单位矩阵的列向量
变换矩阵为[e1..en]=I
I^-1*A*I=B
A=B=[v1
..
vn]
另取特征向量x=[1...1]T
Ax=kx k是其中一个特征值
[v1..vn]T=[k...k]T
=>v1=..=vn=k
所以
A=[k
..
k]
所以A是数量矩阵