Question

复合函数极限运算法则

Answer 1

极限代表的是一种趋向性,函数f(x)在x=x0处的极限与f(x)在x=x0处的函数值无关（假设f(x)在x=x0处有定义）,所以函数极限定义用的是x0的去心邻域,因为当x=x0时,|f(x)-A|=|f(x0)-A|<ε就不一定成立了,比如f(x)=0(当x≠0时),f(x)=1(当x=0时),lim(x->0)f(x)=0,而f(0)=1,而f(x)在x=x0处的极限与f(x)在x=x0处的函数值的统一依靠连续性实现的.所以书上一般不说复合函数的极限运算,而是给出复合函数的连续性,因为复合函数的极限运算是有条件的.先给个例子：
当u=0时,y=f(u)=0,当u≠0时,y=f(u)=1,u=g(x)=x*sin(1/x)（x≠0）
显然有lim(x->0)g(x)=0,lim(u->0)f(u)=1,但是f(g(x))在x=0处没有极限.
因为在0的任意小的去心邻域内都有存在ξ,使得g(ξ)=0.
这样在0的任意小的去心邻域内,f(g(x))=0和f(g(x))=1都可以取到,f(g(x))在x=0处没有极限.
所以满足lim(x->x0)g(x)=u0,且x0的任意小的去心邻域内都有g(x)≠u0,lim(u->u0)f(u)=A.
才可以证明lim(x->x0)f(g(x))=A.证明如下：
因为lim(u->u0)f(u)=A,所以对任意ε>0,存在δ1>0,当u满足：0<|u-u0|<δ1时,|f(u)-A|<ε,
又因为lim(x->x0)g(x)=u0,所以对上述的δ1>0,存在δ2>0,当x满足：0<|x-x0|<δ2时,|g(x)-u0|<δ1,
又x0的任意小的去心邻域内都有g(x)≠u0,所以当x满足：0<|x-x0|<δ2时,0<|g(x)-u0|<δ1,
于是对任意ε>0,存在δ2>0,当x满足：0<|x-x0|<δ2时,有0<|g(x)-u0|<δ1,进而有|f(g(x))-A|<ε,
这就证明了lim(x->x0)f(g(x))=A.(如果没有条件“x0的任意小的去心邻域内都有g(x)≠u0”,则只能有“|g(x)-u0|<δ1”,而不能进一步得到“0<|g(x)-u0|<δ1”,就会出现像上面一样的反例.)

追问

能把运算法则说一下吗，因为我们现在还没有书

追答

若lim(x→x0)f(x)=y0,lim(y→y0)g(y)=l,且存在正数a使得在(x0-a,x0+a)内f(x)≠y0,则lim(x→x0)g(f(x))=l （证明就是直接把极限的定义套进去就完了）
在这里,f(x)=lnx,g(y)=e^y,可以看出f(x)确实满足那个看起来很奇葩的条件“存在正数a使得在(x0-a,x0+a)内f(x)≠y0”.
严格的说法就是,你做到最后发现lim(x→x0)f(x)（即lnx）存在(=y0),且lim(y→y0)g(y)（即e^y）存在(=g(y0))（因为g连续嘛）,所以原极限=lim(x→x0)g(f(x))=g(y0)