Question

如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD平方∠BAC交BC与点D。求证AB+BD=AC

Answer 1

证明：在AC上取点E，使AE＝AB，连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵AB＝AE，AD＝AD
∴△ABD≌△AED （SAS）
∴DE＝BD，∠AED＝∠B
∵∠AED＝∠C+∠CDE，∠B＝2∠C
∴∠C+∠CDE＝2∠C
∴∠CDE＝∠C
∴DE＝CE
∴BD＝CE
∵AC＝AE+CE
∴AC＝AB+BD

Answer 2

解：因为AD是∠BAC的角平分
线
所以∠BAD=∠CAD
在AB上作AE=AC
又AD=AD
由SAS得：△EAD=△CAD
所以∠EDA=∠CDA，ED=CD
又因为∠CDA=∠B+∠BAD，
∠BDA=∠C+∠CAD，∠C=2∠B
所以∠BDE=∠BDA-∠EDA
=(∠C+∠CAD)-∠CDA
=(2∠B+CAD）-（∠B+∠BAD）
=∠B
所以△BED为等腰三角形
所以EB=ED=CD
所以AB=AE+EB=AC+CD