Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2（a,b∈R) 1.若函数f(x)在x=1处有极值为10，求b的值 2.若对任意a∈[-4,+∞)

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2（a,b∈R)
1.若函数f(x)在x=1处有极值为10，求b的值
2.若对任意a∈[-4,+∞),f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的最小值

Answer 1

解：f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2(a,b∈R)，的导函数
f'(x)=3x^2+2ax+b
因为f(x)在x=1处有极值
所以f'(x=1)=3x^2+2ax+b=0成立，即3x+2a+b=0 (1)
又因为x=1时极值为10，所以f(x=1)=x^3+ax^2+bx+a^2=10
即1+a+b+a^2=10 (2)
将（1）（2）式联立为方程组，解得a=-3或a=4
分别带入原方程组求得b=3或-11

追答

函数f(x)=x³+ax²+bx+a²的导函数为
　　f'(x)=3x²+2ax+b
对任意
a∈[-4,+∞]，f(x)在x∈[0,2]上单调递增
即
对任意a∈[-4,+∞]及x∈[0,2]
导函数
　f'(x)=3x²+2ax+b≥0
若x=0则
b≥0
若x≠0则
a≥-(1/2)(3x+b/x)
即
-4≥-(1/2)(3x+b/x)
即
3x+b/x≥8
分离变量得
b≥-3x²+8x
∵ x∈(0,2]
∴ -3x²+8x≤-3(4/3)²+8(4/3)=16/3
故b的取值范围为b∈[16/3，+∞)
欢迎追问、交流！

追问

谢谢，我帮别人问的，替他谢谢你了

Answer 2

第一题要检验，最后答案只有-11