Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于B、A两点，且OB=2OA。S▷ABC=16

如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于B、A两点，且OB=2OA。S▷ABC=16

（1）求直线AB的解析式。

（2）若以OA为一边作如图所示的正方形AOCD，CD交AB于点P，问在x轴上是否存在一点Q，使以P、C、Q为顶点三角形与▷ADP相似？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）∵OB=2OA，S_△ABC=16，
∴1/2OA×OB=16，
∴1/2×OA×2OA=16，
∴OA=4，OB=8，
即A（0，4）B（-8，0），
设直线AB的解析式是y=kx+b，
代入得：4=b，
              0=-8+b

解得：k=1/2，
故直线AB的解析式是y=1/2x+4；

（2）在x轴上存在一点Q，使以P、C、Q为顶点的三角形与△ADP相似，
理由是：∵四边形ADCO是正方形，A（0，4），
∴∠D=∠DC0=90°=∠PCB，AD∥OC，AD=OC=DC=OA=4，
∴BC=4=AD，
∵AD∥OC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ADP和△BCP中，

∠D=∠PCB

AD=BC

∠DAP=∠CBP
∴△ADP≌△BCP（ASA），
∴DP=CP=2，
∵Q在x轴上，
∴以P、C、Q为顶点的三角形与△ADP相似，
首先有∠ADP=∠PDQ=90°，
故只有当具备条件AD/DP=PC/CQ或AD/DP=CQ/PC时，两三角形就相似，
即4/2=2/CQ或4/2=CQ/24/2

解得：CQ=1或CQ=4，
即符合条件的点有4个：当CQ=1时，点Q的坐标是（-3，0）或（-1，0）；
当CQ=4时，点Q的坐标是（-6，0）或（2，0）．

Answer 2

(1) OA = 2OB, A(0, a), a > 0, B(-2a, 0)
S = (1/2)OB*OA = (1/2)*a*2a = a² = 16
a = 4
A(0, 4), B(-8, 0)
直线AB的解析式: x/(-8) + y/4 = 1, x - 2y + 8 = 0

(2)CD: x = -4
P(-4, 2)
PD = 2
三角形ADP是直角边之比为2:1的直角三角形。
CP = 2, PQ = 1或PQ = 4
(i) PQ = 1
Q(-3, 0)或(-5, 0)
(ii) PQ = 4
Q(-8, 0)或(0, 0)

追问

如果bc=4 ao=4 则三角形abc的面积为8与题目不相符。

追答

我看错了，当成了三角形ABO的面积. 但题目很奇怪：(2)中才提到的来历，为什么开始会有三角形ABC的面积？是不是敲错了？如果的确是三角形ABO的面积，则原答案无误(但将(1)中的OA = 2OB改为OB = 2OA)

如果的确是三角形ABC的面积:
(a) A(0, a), B(-2a, 0), C(-a, 0), a > 0
S = (1/2)BC*OA = (1/2)(-a + 2a)*a = a²/2 = 16
a = 4√2
AB: x - 2y + 8√2 = 0

(2)
CD: x = -4√2
C(-4√2, 2√2)
PD = CD = 2√2, DA = 4√2
三角形ADP是直角边之比为2:1的直角三角形。
CP = 2√2, PQ = √2或PQ = 4√2
(i) PQ = √2
Q(-3√2, 0)或(-5√2, 0)
(ii) PQ = 4√2
Q(-8√2, 0)或(0, 0)