Question

如图，在RT三角形ABC中，点P在斜边AB上移动，PM垂直BC，PN垂直AC,M,N分别为垂足，AC=1,AB=2,则何时矩形PM

如图，在RT三角形ABC中，点P在斜边AB上移动，PM垂直BC，PN垂直AC,M,N分别为垂足，AC=1,AB=2,则何时矩形PMCN的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

设PN=X，
∵∠C=90°，∴BC=√(AB^2-AC^2)=√3，
∵PMCN是矩形，∴PN∥BC，
∴ΔAPN∽ΔABC，
∴PN/BC=AN/AC，
X/√3=AN/1，
AN=X/√3=√3X/3，∴CN=1-√3X/3=(3-√3X)/3，
∴S矩形PMCN=PN*CN
=X*(3-√3X)/3
=-√3/3 X^2+X
=-√3/3(X^2-√3)
=-√3/3(X-√3/2)^2+√3/4，
∴当X=√3/2时， 此时P为AB的中点，
S最大=√3/4。